Tolstói y los segadores diligentes

La cuestión de la sombra del avión (o el dirigible), planteada la semana pasada a partir de un libro de Yákov Perelman, ha suscitado un extenso e intenso debate (ver comentarios de la entrega anterior). Empecemos por el final:

El “metaproblema” de la dualidad avión-dirigible tiene que ver con el hecho de que el prólogo corresponde a una edición muy posterior a la primera, de los años veinte del siglo pasado, cuando aún era habitual ver dirigibles en el cielo. Es de suponer que luego Perelman planteó la cuestión con un avión, en el prólogo de una edición de finales de los treinta, para actualizar un poco el libro. En cualquier caso, el dirigible es más adecuado para plantear la cuestión, pues vuela (volaba: siguen existiendo, pero de forma vestigial) más bajo que un avión y siempre se desplaza horizontalmente, y además es mucho más grande, por lo que proyecta una sombra considerable. Al contrario que un avión, que en muchos casos no proyecta sombra alguna, y si la proyecta es mucho más pequeña que el aparato (a no ser que vuele muy bajo). Veamos por qué:

Es cierto que el Sol está tan lejos (unos 150 millones de kilómetros) que podemos considerar que sus rayos son paralelos, por lo que hay que descartar el “efecto divergencia” que agranda las sombras al iluminar algo con un foco puntual, como una linterna; pero el Sol es muy grande (1.400.000 km de diámetro aproximadamente): su distancia a la Tierra equivale a solo unos 100 diámetros solares, por lo que un observador terrestre forma con un diámetro solar un triángulo isósceles semejante a uno de 1 cm de base y 1 metro de altura; un triángulo muy estrecho y alargado, pero reconocible a simple vista y en absoluto irrelevante. Los objetos reciben la luz del Sol desde toda su superficie, y por eso forman un “cono de sombra”. Por eso la Luna, durante un eclipse de Sol, proyecta sobre la superficie terrestre una sombra de unos pocos cientos de kilómetros de ancho como máximo, cuando su diámetro es de unos 3.500 km. Y por eso la sombra del dirigible será más pequeña que la aeronave y la del avión, probablemente, ni siquiera llegará a formarse.

Para comprobar a pequeña escala este fenómeno, como señala Ramón Jaraba, basta con lanzar una pelota de tenis hacia arriba en un día soleado: su sombra disminuye de tamaño, hasta desaparecer por completo, a medida que la bola asciende.

Problemas ilustres

Una de las muchas aportaciones de Yákov Perelman a la matemática recreativa fue popularizar algunos problemas clásicos y/o vinculados a grandes figuras del pensamiento, como Newton, Tolstói o Einstein. En su libro Álgebra recreativa, Perelman menciona, entre otros problemas ilustres, uno que al parecer era el preferido de Tolstói, en el que se unen la afición del autor de Guerra y paz por las matemáticas con su interés por la planificación agrícola:

Un artel (asociación voluntaria de trabajadores) de segadores ha de segar dos campos, uno de los cuales dobla al otro en superficie. Durante medio día trabajan todos los segadores en el campo grande, y después de comer la mitad siguen en el campo grande y la otra mitad trabaja en el pequeño. Durante la tarde terminan de segar ambos campos casi por completo, a excepción de un reducido sector del campo pequeño, cuya siega ocupa a un solo segador durante todo el día siguiente. ¿Cuántos segadores había en el artel?

Puedes seguir a MATERIA en Facebook, X e Instagram, o apuntarte aquí para recibir nuestra newsletter semanal.