Grandes problemas matemáticos resueltos por aficionados que hicieron historia

En general, hay muchas demostraciones incorrectas de problemas propuestas por matemáticos aficionados; por ejemplo, cada dos días alguien afirma tener una nueva prueba de la famosa hipótesis de Riemann. Esto hace que la mayoría de los matemáticos profesionales ni siquiera se molesten en revisar ninguna de presuntas soluciones, para no perder tiempo. Sin embargo, existen excepciones a esta regla. Dos ejemplos de ello son Marjorie Rice, una ama de casa de California (EE UU), y Aubrey de Grey, un biólogo inglés, quienes resolvieron problemas matemáticos importantes y difíciles.

En 1975, Rice propuso cuatro nuevos tipos de pentágonos convexos que cubren el plano, lo que se relaciona con uno de los problemas más antiguos en la geometría. Los polígonos convexos son aquellos en los que, si tomas dos puntos de la figura, la línea que los une también está dentro de ella. La primera pregunta es: ¿qué polígonos convexos permiten cubrir todo el plano sin superposiciones ni espacios vacíos? Para formar el mosaico es posible trasladar, rotar y reflejar el polígono de partida, pero nada más; ni modificar su tamaño, ni deformarlos.

Los griegos antiguos demostraron que los únicos polígonos regulares —de lados y ángulos interiores iguales— que cubren el plano (sin dejar huecos) son el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular. Pero si se emplean polígonos convexos más generales, la cuestión se vuelve mucho más difícil. Se sabía, desde hace mucho tiempo, que cualquier triángulo y cuadrilátero convexo funcionaban. También estaba demostrado que existen solo tres familias de hexágonos convexos que permiten cubrir el plano, y que ningún otro polígono convexo de más de seis lados puede hacerlo.

Sin embargo, el caso más difícil aparece al considerar pentágonos convexos. Hace más de 100 años se encontraron las primeras cinco familias de pentágonos que cubrían el plano. En 1968, un matemático encontró tres más y afirmó, incorrectamente, haber demostrado que estos ocho eran los únicos pentágonos convexos que cubren el plano.

Marjorie Rice se topó con un artículo que mencionaba este resultado en la revista Scientific American. A pesar de tener solo un graduado de educación secundaria, aunque un gran interés en el arte, Rice encontró al poco tiempo los cuatro nuevos tipos de pentágonos convexos que cubren el plano. En homenaje a Rice —que falleció en 2017 a los 94 años— uno de esos tipos se muestra con baldosas pentagonales que cubren el suelo en el vestíbulo de la sede de la Asociación Matemática de América (en Washington, EE UU). Con el tiempo, se encontraron más cubrimientos, lo que elevó el número total de familias de pentágonos convexos a 15. Finalmente, en 2017, el matemático Michaël Rao, mediante una prueba asistida por computadora, demostró que estas 15 familias conocidas de pentágonos convexos son las únicas que pueden cubrir el plano.

La otra historia de un aficionado que realizó una contribución matemática la protagoniza el mediático biólogo Aubrey de Grey, realizó un avance importante en el problema de coloración del plano, una famosa pregunta de la teoría de grafos, con conexiones a otros problemas en esta área. También conocido como el problema de Hadwiger-Nelson, se trata de encontrar el número mínimo de colores necesarios para colorear un plano, de modo que cualquier par de puntos que estén a una distancia de uno entre ellos tengan colores diferentes. Este valor se llama número cromático del plano.

Los matemáticos Hugo Hadwiger y Edward Nelson trabajaron y dieron a conocer el problema en las décadas de 1940 y 1950. Al poco tiempo, se encontraron límites superiores e inferiores para el número cromático del plano.

Se sabe que un límite superior es siete, ya que es posible colorear el plano con solo siete colores, de modo que ningún par de puntos a una distancia uno tenga el mismo color. Para ello, se cubre el plano con un hexágono regular cuyo diámetro es ligeramente menor que uno. Como cada hexágono colinda con otros seis hexágonos, se usan siete colores: uno para hexágono central y seis para sus vecinos. Siguiendo esta estrategia, se colorean todos los hexágonos, y queda coloreado el plano tal y como se quería.

En cuanto al límite inferior, uno obvio es tres. Ya solo para colorear los vértices de un triángulo equilátero con lados de longitud uno se necesitan tres colores diferentes. Un grafo ligeramente más complicado —el llamado el huso de Moser, con siete vértices—, descubierto en 1961, muestra que se necesitan al menos cuatro colores. Todo esto establece que el número cromático del plano es cuatro, cinco, seis o siete. Y así quedó la situación durante casi 60 años, hasta el trabajo de Aubrey de Grey en 2018.

De Grey, un científico conocido por su opinión de que la tecnología médica puede permitir a los seres humanos actuales no morir por causas relacionadas con la edad, se hizo amigo de matemáticos gracias a su pasión común por los juegos de mesa. Ellos lo introdujeron en la teoría de grafos y en el problema de Hadwiger-Nelson y, durante años, De Grey trabajaba de vez en cuando sobre estos temas. En 2018, publicó un artículo en el que demuestra que el número cromático del plano es al menos cinco. Para hacerlo, fusionó varias copias del huso de Moser y construyó un monstruoso grafo con 20.425 vértices, que es imposible de colorear con cuatro colores. Después, el tamaño de estos grafos incoloreables con cuatro colores se ha reducido a 509 vértices.

El problema general sigue sin estar resuelto, pero, a través del trabajo de este biólogo se sabe que el número cromático del plano es cinco, seis o siete. De Grey puede que no logre la inmortalidad biológica, pero sin duda ha logrado la inmortalidad matemática.

Siddhant Govardhan Agrawal es investigador postdoctoral en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT).

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición, traducción y coordinación: Ágata Timón García-Longoria. Es coordinadora de la Unidad de Cultura Matemática del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT)

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